CHAMP DE TEMPERATURE      



SOMMAIRE






1/ Conduction

a)Loi de Fourier

Considérons un volume de matière qui se trouve à une température T. une surface de ce volume est subitement porté à une température T + DT. Que va-t'il se passer ?



La chaleur va se propager de la face la plus chaude vers la face la plus froide pour équilibrer les températures par conduction. Cette propagation correspond à un flux q proportionnel au gradient de température.



    . le signe - indique que la chaleur va bien du chaud vers le froid et que donc le flux va dans le sens des température décroissante (signe opposé du gradient positif qui est du - vers le +)
    . k (conductivité thermique) est un coefficient de proportionalité nécessaire pour l'homogénéité de l'équation et représentatif de l'aptitude de la matière à conduire la chaleur.
    . l'unité de k est donnée par : [q] = W / m2 => [k] = W / m / °K = W m-1 °K-1


b) Mesure de la conductivité d'une roche


On peut écrire les équations qui donnent tous les flux dans chacun des blocs :

En régime permanent, la même quantité de chaleur doit passer au travers des blocs de cuivre et de l'échantillon (sinon ça chauffe !). Donc tous les fluxs sont égaux ! (q = qc1 = qc2 = qr = qi1 = qi2).

En substituant, on obtient :

Par ailleurs, on a :

En substituant dans (3), on obtient :

(II)/(I) donne finalement :

On peut donc dessiner la courbe des rapports de températures en fonction de d, l'épaisseur de l'échantillon de roche. c'est une droite de proportionnalité dont la pente est proportionnelle au rapport des conductivités et l'abscisse à l'origine dépend de la conductivité de l'interface machine/échantillon.



2/ Diffusion

a)Loi de Laplace

Considérons un volume de matière qui "baigne" dans un champ de température et qui est donc "traversé" par un flux de chaleur.


Bilan du flux suivant l'axe x :

Bilan du flux suivant l'axe y :

En régime permanent, le bilan total du flux doit être nul si l'élément ne produit pas et ne stoke pas de chaleur. On obtient donc :

Si on utilise l'expression du flux tel que donné par la loi de Fourier et , on obtient finalement :

ou encore :



b)Introduction du temps

Un élément de matière a besoin d'un certain flux d'énergie par unité de temps pour maintenir un gradient de température. Or, La capacité calorifique (c) d'un milieu est la quantité d'énergie requise pour élever la température d'un gramme de matière de un degré. L'unité de c est donc : [c] = [E] / °K /kg.

Donc, si on considère un morceau de matière d'épaisseur dy et de densité :

  • sa masse par unité de surface vaut : dy
  • sa capacité calorifique par unité de surface vaut donc : c dy

Le taux de variation de la température avec le temps est :

le flux d'énergie par unitéde temps nécessaire pour maintenir le taux de variation de la température est donc : c dy ( puisque E = c dy dT)

Si un flux d'énergie sors du morceau de matière, alors celui ci se refroidit, ce qui implique que le bilan net du flux de température qui le traverse , n'est pas nul.

On a donc : =>
=>
et finalement :

avec

est le coefficient diffusivité thermique.

La dimension de est : [] = [k] / [][c]
[k] = W m-1°K-1 = [E] s-1m-1°K-1
[] = kg m-3 => [] = m2 s-1
[c] = [E] kg-1 °K-1
Un changement de température mettra donc un temps l2/ pour se propager à la distance l. ou encore, se propagera à la distance en un temps t.



c) Refroidissement d'un demi-espace infini (fonction erf)


On applique brutalement une température Ts à la surface du demi espace infini. La chaleur va diffuser dans le demi espace en instaurant un gradient de température correspondant au flux de chaleur. ce gradient de température est variable avec le temps puisque la diffusion de la chaleur modifie les températures dans le demi espace. C'est l'équation de diffusion qui gouverne le phénomène. Avec les conditions aux limites suivantes :

  • T = T0 à t=0 et pour y > 0
  • T = Ts en y=0 et pour t > 0
  • T -> T0 quand Y ->

On introduit la variable sans dimension : . l'équation de diffusion s'applique à comme à T, mais les conditions aux limites sont plus simple.

On a donc :

La seule quantité du problème qui a la dimension d'une longueur (autre que y) est bien la quantité . Il est donc raisonnable de supposer que n'est pas une fonction de y et t séparement mais plutot une fonction du nombre sans dimension:

Pour exprimer l'équation de diffusion en fonction de , il faut exprimer les dérivées partielles de par rapport à t et y en fonction de .



L'équation de diffusion devient simplement :


les conditions aux limites sont sans problème : y = 0 devient = 0 et y = et t=0 devient = . On a donc : () = 0 et (0) = 1.
avec un dernier changement de variable : on obtient enfin pour l'équation de diffusion :


qui s'intègre sans difficulté :
et donc :
en intégrant encore une fois, mais par rapport à , on trouve :

(' est une variable "muette" d'intégration, et la condition (0)=1 a été utilisée pour trouver la deuxième constante d'intégration.

la deuxième condition (()=0), implique :

cette intégrale est bien connue (!) et vaut . On en déduit la constante :

et donc finalement :

ou encore :



d) Refroidissement de la lithosphere océanique

Les plaques tectoniques sont créées à partir de la matière mantellique chaude qui apparait en surface aux dorsales. Cette matière est refroidie et forme les plaques rigides (froides) de la tectonique des plaques. On identifie donc la "plaque" à la lithosphère océanique qui se déplace de manière rigide à la surface du manteau, et donc à la partie supérieure du manteau dont la température est trop faible pour que les roches se déforment sur les temps géologiques (les expériences de labo suggèrent environ 1500°K).


La base de la lithosphère est donc définie par un isotherme donné. Sa profondeur augmente avec le temps (par diffusion, le refroidissement se propage vers le bas). Donc la plaque s'épaissit en meme temps qu'elle s'éloigne de la dorsale. donc au fur et à mesure de son veillissement : t = x/u.



La température dans le manteau est Tm. La température de refroidissement à la surface est imposée par l'eau et vaut Ts. Donc une colonne de matière à x=0 qui a pour température Tm partout se voit brutalement appliquer la température Ts à son sommet. Puis au fur et à mesure qu'elle séloigne de la dorsale, la température de surface est maintenue à Ts, et le refroidissement se propage vers le bas comme dans le problème du refroidissement d'un demi espace infini.

  • On néglige les transport de chaleur horizontaux. C'est vrai tant que la lithosphère est fine car alors le gradient de température horizontale est faible par rapport au gradient vertical
  • Une colonne n'est pas vraiment un demi espace infini. Mais justement si on ne regarde que le transport de chaleur vertical, le non respect de la dimension infinie horizontale n'est pas très grave

l'équation de la température s'écrit donc :


ou encore :






Différents isothermes (T-Ts), pour Tm-Ts = 1300°K (n'oublions pas que Ts ~ 300°K) et = 1 mm2 s-1. Les points montrent l'épaisseur de la lithosphère différents endroit, determinée par sismologie.

Si on cherche l'isotherme T=1500°K :=>T-Ts ~ 1200°K
=>(T-Ts)/(Tm-Ts) ~ 0,9
=>
=>
=>

Pour les valeurs précédentes ( = 1 mm2 s-1) on trouve une épaisseur y =116 km à un age t = 80 MA, ou à une distance de la dorsale (u=10cm/an) x = 8000 km.


qs, le flux de chaleur en surface est donné par :

On a donc :




qs Avec les valeurs précédentes et k = 3.3 W/m/°K. Les points montrent les mesures de flux de chaleur en différents endroit des fonds océaniques (donnés en fonction de leur age).


e) Flux de chaleur terrestre

On peut mesurer l'age des fonds océaniques et en déduire la courbe de la surface cumulative en fonction de cet age. Pour chaque age, on regarde quelle est la surface de planchers océaniques (A) d'age inférieur.


La courbe en escalier montre les surfaces mesurées pour des ages de 5, 10, 20, 30, 40, 50, etc... million d'années. La courbe en pointillé correspond à un modèle continu : dA/dt = 0.134 m2/s (puis tout est subducté à 120.8 MA). L'age moyen est de 60.4 MA.

Le flux moyen du modèle à taux constant qui "colle" bien est :


Avec les valeurs précédentes (, , k, T), on trouve : qs = 78.5 mW.m-2. Ce qui correspond assez bien à la valeur moyenne mesurée (78.2). On en déduit donc qu'une fraction substentielle de l'évacuation de la chaleur terrestre s'effectue par refroidissement de la lithosphere océanique.


Le geotherme qui correspond à un age de 60.4 MA (age moyen de la lithosphere océanique) est le suivant :




Si on applique les équations à la lithosphère continentale il faut tenir compte de la production de chaleur dans la croute. Pour simplifier, on utilise le flux de chaleur réduit, c'est à dire uniquement la contribution mantellique au flux de chaleur en surface. Pour déterminer sa valeur à la surface de la Terre, il faut utiliser la corrélation entre la concentration d'isotopes radioactifs et le flux de chaleur mesuré en surface...









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