Simplement appliqué à un champ scalaire P(x,y,z), l'opérateur nabla donne le gradient du champ. Le gradient obtenu est lui un champ vectoriel.
RAPPEL SUR LES OPERATEURS DIFFERENTIELS
On donne les expressions suivantes des opérateurs mathématiques gradient, divergence, rotationnel, et Laplacien, en coordonnées scalaires dans un espace à trois dimensions. Tous ces opérateurs sont construits à partir de l'opérateur fondamental Nabla : Simplement appliqué à un champ scalaire P(x,y,z), l'opérateur nabla donne le gradient du champ. Le gradient obtenu est lui un champ vectoriel.
Le produit scalaire entre l'opérateur nabla et un champ vectoriel U (défini par ses trois composantes : ux(x,y,z), uy(x,y,z), et uz(x,y,z)), donne la divergence de ce champ vectoriel. La divergence obtenue est elle un champ scalaire.
Le produit vectoriel entre l'opérateur nabla et un champ vectoriel U (défini par ses trois composantes : ux(x,y,z), uy(x,y,z), et uz(x,y,z)), donne le rotationnel de ce champ vectoriel. Le rotationnel obtenu est lui aussi un champ vectoriel.
La divergence du gradient d'un champ scalaire définit son Laplacien scalaire. en fait on dit aussi que le Laplacien scalaire est l'application au champ scalaire du carré (en fait les dérivées partielles secondes) de l'opérateur nabla. Le Laplacien obtenu est lui aussi (par construction) un champ scalaire.
Le Laplacien vectoriel est tout simplement pour chaque composante le Laplacien scalaire appliquée à chacune des composantes (ux(x,y,z), uy(x,y,z), et uz(x,y,z)) du champ vectoriel U
|
Relations impossibles |
: |
(1) |
grad(rot) |
le gradient d'un rotationnel n'existe pas puisque l'opérateur gradient s'applique à un champ scalaire alors que le rotationnel est un vecteur |
|
: |
(2) |
rot(div) |
le rotationnel d'une divergence n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ vectoriel alors que la divergence est un scalaire |
|
|
: |
(3) |
rot(Laplacien scalaire) |
le rotationnel d'un Laplacien scalaire n'existe pas puisque l'opérateur rotationnel s'applique à un champ vectoriel alors que par construction le Laplacien scalaire est un scalaire |
|
|
Relations fondamentales |
: |
(1) |
div(grad) = Laplacien |
par construction le Laplacien (scalaire) est la divergence du gradient du champ |
|
: |
(2) |
div(rot) = 0 |
la divergence du rotationnel d'un champ est toujours nulle |
|
|
: |
(3) |
rot(rot) = grad(div) - Laplacien |
le rotationnel du rotationnel d'un champ est égal au gradient de la divergence de ce champ moins son Laplacien (vectoreil évidemment) |
Retour au sommaire des cours